이진 옵션 이항 트리

이항 옵션 가격 모델을 이해하는 예제.

현재의 경우에도 거래 가능한 자산의 정확한 가격 결정에 동의하는 것은 상당히 어려운 일입니다. 그래서 주가는 끊임없이 변화하고 있습니다. 실제로 회사는 평상시에 가치 평가를 거의 바꾸지 않지만 주가와 평가는 매 초마다 바뀝니다. 이는 거래 가능한 자산의 현재 가격에 대한 합의에 도달하기 어렵다는 것을 보여 주며, 이로 인해 차익 거래 기회가 생깁니다. 그러나 이러한 차익 거래 기회는 실제로 오래 살지 않습니다.

그것은 모두 현재의 밸류에이션으로 내려갑니다. - 미래의 기대 수익에 대한 현재의 현재 가격은 얼마입니까?

경쟁 시장에서 차익 거래 기회를 피하기 위해 동일한 보수 구조를 가진 자산은 동일한 가격을 가져야합니다. 옵션의 평가는 어려운 과제 였고 가격 결정의 높은 변동이 관찰되어 차익 거래 기회를 이끌어 냈습니다. Black-Scholes는 가격 옵션에 사용되는 가장 인기있는 모델 중 하나로 남아 있지만 자체 제한이 있습니다. 자세한 내용은 옵션 가격 결정을 참조하십시오. 이항 옵션 가격 결정 모델은 가격 결정 옵션에 사용되는 또 다른 인기있는 방법입니다. 이 기사에서는 몇 가지 포괄적 인 단계별 예제를 설명하고이 모델을 적용 할 때의 위험 중립 개념에 대해 설명합니다. (관련 독서는 다음을 참조하십시오 : 옵션 값을 구하기 위해 이항 모델 분해).

이 기사에서는 옵션과 관련 개념 및 용어에 대한 사용자의 친숙도를 가정합니다.

현재 시장 가격이 $ 100 인 특정 주식에 콜 옵션이 있다고 가정합니다. ATM 옵션의 유효 기간은 1 년입니다. 피터와 폴은 주식 가격이 1 년에 110 달러로 떨어지거나 90 달러로 하락할 것이라는 데 동의하는 두 명의 상인이있다. 그들은 둘 다 1 년간의 주어진 시간 틀에서 기대 가격 수준에 동의하지만, 상승 움직임 (그리고 아래 움직임)의 확률에 대해서는 의견이 다르다. 베드로는 주식 가격이 110 달러가 될 확률이 60 % 인 반면 폴은 40 %라고 믿는다.

위의 내용을 토대로 통화 옵션에 대해 더 많은 비용을 지불 할 의사가있는 사람은 누구입니까?

아마 피터, 그가 높은 이동 확률을 기대하기 때문에.

이것을 검증하고 이해하기위한 계산을 봅시다. 평가에 의존하는 두 가지 자산은 통화 옵션과 기본 주식입니다. 참가자들 사이에 근본적인 주가가 1 년 만에 현재 100 달러에서 110 달러 또는 90 달러로 움직일 수 있다는 합의가 이루어졌으며 다른 가능한 가격 움직임은 없습니다.

차익 거래가없는 세계에서, 만약 우리가 기초 가격 (110 달러 또는 90 달러)이 어디이든 상관없이, 포트폴리오의 순 수익률은 항상 동일하게 유지되는 두 가지 자산 (콜 옵션과 기본 주식)으로 구성된 포트폴리오를 생성해야한다. . 이 포트폴리오를 작성하기 위해 기본 및 단 한 통화 옵션의 'd'주를 구입한다고 가정합니다.

가격이 110 달러로 오를 경우, 우리 주식은 110 달러 *의 가치가있을 것이고, 짧은 콜 수익으로 10 달러를 잃을 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (110d - 10)입니다.

가격이 $ 90로 떨어지면 우리 주식은 $ 90 * d의 가치가 있고 옵션은 무용지물이 될 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (90d)입니다.

우리가 포트폴리오의 가치를 동일하게 유지하기를 원한다면, 기본 주식 가격이 어디에 있든 상관없이 포트폴리오 가치는 다음 두 경우 모두 동일해야합니다.

즉, 만약 우리가 주식을 절반으로 구매한다면 (부분 구매가 가능하다고 가정 할 때), 우리는 주어진 기간 내에 1 년이라는 두 가지 상태 모두에서 그 가치가 동일하게 유지되도록 포트폴리오를 만들 것입니다. (포인트 1)

(90d) 또는 (110d -10) = 45로 표시되는이 포트폴리오 값은 1 년입니다. 그것의 현재 가치를 계산하기 위해, 그것은 위험 자유로운 수익률 (5 % 가정)에 의해 할인 될 수 있습니다.

= & gt; 90d * exp (-5 % * 1 년) = 45 * 0.9523 = 42.85 = & gt; 포트폴리오의 현재 가치.

현재 포트폴리오는 기본 주식의 1/2 주 (시가 $ 100)와 단시간 콜으로 구성되어 있기 때문에, 상기 계산 된 현재 가치와 동일해야합니다.

= & gt; 1 / 2 * 100 - 1 * 콜 가격 = 42.85.

= & gt; 현재 통화 가치는 오늘 기준 7.14 달러입니다.

이것은 포트폴리오 가격이 기본 가격 (위의 1 번 지점)에 관계없이 동일하게 유지된다는 위의 가정에 기반하기 때문에 위 또는 아래로 이동할 가능성은 여기에서 아무런 역할을하지 않습니다. 포트폴리오는 근본적인 가격 변동과 무관하게 위험 부담이 없습니다.

두 경우 모두 (110 달러로 상향 조정하고 90 달러로 하향 조정), 우리의 포트폴리오는 위험에 대해 중립적이며 위험 자유로운 수익률을 얻습니다.

따라서 상인 (Peter and Paul)은 상향 이동 (60 %와 40 %)의 가능성에 대한 서로 다른 인식에 관계없이이 통화 옵션에 대해 동일한 7.14 달러를 기꺼이 지불 할 것입니다. 위의 예에서 볼 수 있듯이 개별적으로 인식 된 확률은 옵션 평가에서 아무런 역할을하지 않습니다.

개별 확률이 중요하다고 가정하면 차익 거래 기회가 존재했을 것입니다. 현실 세계에서 그러한 차익 거래 기회는 작은 가격 차이로 존재하며 단기간에 사라집니다.

그러나 옵션 가격 결정에 영향을 미치는 중요한 (그리고 가장 민감한) 요소 인 이러한 모든 계산에서 과대 평가 된 변동성은 어디에 있습니까?

변동성은 이미 문제 정의의 성격에 포함되어 있습니다. 우리는 가격 수준 ($ 110과 $ 90) 중 두 가지 (그리고 단지 2 가지 - 그리고 따라서 "2 항"이라는 이름) 상태를 가정하고 있음을 기억하십시오. 휘발성은이 가정에 함축되어 있으므로 자동으로 포함됩니다 (이 예에서는 10 %).

이제 우리의 접근 방식이 일반적으로 사용되는 Black-Scholes 가격 책정에 정확하고 일관성이 있는지 확인하기 위해 온 전성 검사를 해봅시다. (참조 : 블랙 숄즈 옵션 평가 모델).

다음은 계산 된 값과 밀접하게 부합하는 옵션 계산기 결과 (OIC의 호의)의 스크린 샷입니다.

불행히도, 현실 세계는 "단지 두 국가"만큼 간단하지 않습니다. 거기에 만료 시간까지 재고에 의해 달성 할 수있는 몇 가지 가격 수준이 있습니다.

두 가지 레벨로만 제한된 이항료 가격 모델에 이러한 여러 레벨을 모두 포함 할 수 있습니까? 네, 아주 가능합니다. 이해하기 위해 간단한 수학을 배우겠습니다.

몇 가지 중간 계산 단계를 요약하여 결과에 초점을 맞추기 위해 건너 뜁니다.

계속 진행하기 위해이 문제와 솔루션을 일반화하자.

'X'는 주식의 현재 시장 가격이고 'X * u'와 'X * d'는 't'년 후의 상하 변동에 대한 미래 가격입니다. 요인 'u'는 움직임이 올라 갔음을 의미하고 'd'는 0과 1 사이에 위치하므로 1보다 커야합니다. 위의 예에서 u = 1.1 및 d = 0.9입니다.

만료시 통화 옵션 payoffs는 'P up'및 'P dn'입니다.

우리가 오늘 구입 한 주식의 포트폴리오를 만들고 짧은 통화 옵션을 만든다면 시간이 지나면 't'가됩니다.

상향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * u - P up.

하향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * d - P dn.

가격 이동의 경우와 유사한 평가의 경우,

= & gt; s = (Pup-Pdn) / (X * (u-d)) = no. 위험의 여지가없는 포트폴리오를 구입하기위한 주식.

't'년말의 포트폴리오의 미래 가치가 될 것입니다.

위의 현재 가치는 위험 자유로운 수익률로 할인하여 얻을 수 있습니다.

이것은 X 가격의 's'주식 보유 포트폴리오와 일치해야하며, 짧은 콜 값 'c'즉 (s * X - c)의 현재 보유는 상기와 동일해야합니다. C에 대한 해답은 결국 c를 다음과 같이 나타냅니다.

통화 프리미엄을 줄이는 경우 광고 거래를 포트폴리오에 추가해야합니다.

위의 방정식을 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같이 재정렬하는 것입니다.

위의 방정식이됩니다.

방정식을 "q"로 재 배열하면 새로운 시각을 제공합니다.

"q"는 이제 기초의 상향 이동 확률로 해석 될 수 있습니다 ( "q"는 P up과 연관되고 "1-q"는 P dn과 연관 됨). 전체적으로, 상기 방정식은 현재의 옵션 가격, 즉 만료시의 보수의 할인 된 가치를 나타낸다.

이 확률 "q"는 기초의 상향 이동 또는 하향 이동 확률과 어떻게 다른가?

시간 t = q * X * u + (1-q) * X * d에서의 주가 값.

q의 값을 대입하고 재배치하면 시간 t의 주가가옵니다.

즉 2 상태의이 가정 된 세계에서, 주식의 가격은 무위험 수익률 (즉, 무위험 자산과 정확하게 동일하므로 임의의 위험과 독립적으로 남아 있음)에 의해 단순히 상승한다. 모든 투자자는이 모델 하에서 위험에 무관심하며 위험 중립적 모델을 구성합니다.

확률 "q"와 "(1-q)"는 위험 중립적 확률로 알려져 있으며, 평가 방법은 위험 중립적 평가 모델이라고합니다.

위의 예에는 하나의 중요한 요구 사항이 있습니다. 미래의 보수 구조에는 정밀도 ($ 110 및 $ 90 수준)가 필요합니다. 실생활에서 단계 기반 가격 수준에 대한 그러한 명확성은 불가능합니다. 오히려 가격이 무작위로 움직이며 여러 단계로 정할 수 있습니다.

예제를 더 확장 해 봅시다. 2 단계 가격 수준이 가능하다고 가정합니다. 우리는 두 번째 단계 최종 결과를 알고 있으며 오늘 옵션을 평가해야합니다 (즉, 초기 단계)

거꾸로 작업하면서 2 단계 (t = 2)에서 최종 보수를 사용하여 중간 1 단계 평가 (t = 1)를 수행 한 다음 계산 된 1 단계 평가 (t = 1), 현재 날짜 평가 (t = 0)는 위의 계산을 사용하여 도달 할 수 있습니다.

아니오에서 옵션 가격을 받으려면. 2의 경우 4와 5의 보수가 사용됩니다. 아니오에 대한 가격을 얻으려면. 3에서 5와 6의 보수가 사용됩니다. 마지막으로 계산 된 2와 3의 보수는 no로 가격을 책정하는 데 사용됩니다. 1.

이 예에서는 두 단계에서 위 (및 아래) 이동에 대해 동일한 요소가 있다고 가정합니다 - u (및 d)는 복합 방식으로 적용됩니다.

다음은 계산을 사용한 작업 예제입니다.

파업 가격 $ 110의 풋 옵션이 현재 $ 100로 거래되고 1 년 만료된다고 가정하십시오. 연간 무위험 이자율은 5 %입니다. 가격은 20 % 증가하고 6 개월마다 15 % 하락할 것으로 예상됩니다.

문제를 구조화합시다.

여기서, u = 1.2 및 d = 0.85, X = 100, t = 0.5.

위의 유도 된 수식을 사용하면 q = 0.35802832가됩니다.

포인트 2의 풋 옵션의 값,

P upup 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144가되어 P upup = 0이됩니다.

P updn 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102로 P updn = $ 8이됩니다.

Pndnd 조건에서 기본은 = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25이며 Pndnd = $ 37.75가됩니다.

p2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741.

유사하게, p3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924.

따라서 put 옵션의 가치는 p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29입니다.

유사하게, 2 항 모델은 하나의 전체 옵션 지속 시간을 분할하여 더 많은 단계 / 레벨을 개선 할 수 있도록합니다. 컴퓨터 프로그램이나 스프레드 시트를 사용하면 한 번에 한 단계 씩 뒤로 작업하여 원하는 옵션의 현재 가치를 얻을 수 있습니다.

이항 옵션 평가를위한 3 가지 단계를 포함하는 또 다른 예제를 통해 결론을 맺으십시오.

유럽 ​​유형의 풋 옵션을 가정합니다. 파업 가격이 12 달러이고 현재 기본 가격이 $ 10로 끝나는 데 9 개월이 소요됩니다. 모든 기간 동안 5 %의 위험 자유 율을 가정하십시오. 매 3 개월을 가정하고, 기본 가격이 20 % 위 또는 아래로 움직여 u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 및 3 단계 이항 트리를 제공 할 수 있습니다.

빨간색 숫자는 기본 가격을 나타내고 파란색 숫자는 풋 옵션의 결과를 나타냅니다.

위험 중립 확률 q는 0.531446으로 계산됩니다.

위의 q 값과 t = 9 개월의 보수 값을 사용하여 t = 6 개월의 해당 값은 다음과 같이 계산됩니다.

또한 t = 6에서 계산 된 값을 사용하면 t = 3에서 t = 0에서의 값은 다음과 같습니다.

풋 옵션의 현재 가치는 $ 2.18로 블랙 숄즈 모델 ($ 2.3)을 사용하여 계산 된 값에 매우 가깝습니다.

컴퓨터 프로그램을 사용하면 이러한 집중적 인 계산을 쉽게 수행 할 수 있지만 미래 가격의 예측은 옵션 가격 책정에 대한 이항 모델의 주요 제한 사항으로 남아 있습니다. 시간 간격이 더 세밀할수록 각 기간의 끝에서 보수를 정확하게 예측하는 것이 어려워집니다. 그러나 다른시기에 예상대로 변경 내용을 통합 할 수있는 유연성이 추가되어 플러스가되어 초기 운동 평가를 비롯하여 미국 옵션 가격 책정에 적합합니다. 이항 모델을 사용하여 계산 된 값은 옵션 가격 결정을위한 이항 모델의 유용성과 정확성을 나타내는 Black-Scholes와 같이 일반적으로 사용되는 다른 모델에서 계산 된 값과 거의 일치합니다. 이항 가격 모델은 상인의 ​​선호도에 따라 개발 될 수 있으며 Black-Scholes의 대안으로 사용할 수 있습니다.

미국 이진 옵션 가격 결정 3 기간 이항 트리 모델.

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이항 옵션 가격 모델.

'이항 옵션 가격 모델'이란 무엇입니까?

이항 옵션 가격 결정 모델은 1979 년에 개발 된 옵션 평가 방법입니다. 이항 옵션 가격 결정 모델은 평가 날짜와 옵션의 만료 날짜 사이의 기간 동안 노드 또는 시간의 특정을 허용하는 반복 프로 시저를 사용합니다. 이 모델은 가격 변화 가능성을 줄이고 재정 거래 가능성을 제거합니다. 이항 트리의 단순화 된 예는 다음과 같습니다.

속보 옵션 '가격 옵션 모델'

이항 가격 예제.

이항 트리의 단순화 된 예는 단지 하나의 시간 간격을 갖는다. 주당 100 달러로 책정 된 주식이 있다고 가정합니다. 한 달 안에이 주식의 가격은 10 달러 상승하거나 10 달러 하락할 것이며이 상황을 만듭니다.

주가 = 100 달러.

주가 (주정부) = 110 달러.

주식 가격 (다운 상태) = 90 달러.

다음으로이 주식에 사용할 수있는 통화 옵션이 한 달 만료되고 가격이 $ 100 인 것으로 가정합니다. 업 상태에서이 통화 옵션은 10 달러, 다운 상태에서는 0 달러입니다. 이항 모형은 통화 옵션의 가격이 오늘 무엇인지 계산할 수 있습니다. 단순화를 위해 투자자가 주식의 절반을 구매하여 하나의 통화 옵션을 작성하거나 판매한다고 가정합니다. 총 투자는 오늘 옵션의 가격보다 절반 몫의 가격이며, 월말의 가능한 보수는 다음과 같습니다.

오늘 비용 = $ 50 - 옵션 가격.

포트폴리오 값 (up state) = $ 55 - max ($ 110 - $ 100, 0) = $ 45.

포트폴리오 가치 (아래 상태) = $ 45 - 최대 ($ 90 - $ 100, 0) = $ 45.

주식 가격의 움직임에 관계없이 포트폴리오 성과는 동일합니다. 이 결과를 감안할 때, 차익 거래 기회가 없다고 가정하면 투자자는 한 달 동안 무위험 이자율을 받아야합니다. 현재 비용은 1 개월 동안 무위험이자로 할인 된 보수와 같아야합니다. 따라서 풀 수있는 방정식은 다음과 같습니다.

옵션 가격 = $ 50 - $ 45 x e ^ (무효 자유 율 x T). 여기서 e는 수학 상수 2.7183입니다.

무위험 이자율이 연간 3 %이고 T가 0.0833 (1을 12로 나눈 값)이라면 오늘 콜 옵션의 가격은 5.11 달러입니다.

단순하고 반복적 인 구조로 인해 이항 옵션 가격 결정 모델은 특정한 고유 한 이점을 제공합니다. 예를 들어 시간의 경과에 따라 각 노드에 대해 파생 상품에 대한 평가 스트림을 제공하므로 미국 옵션과 같은 파생 상품 가치를 평가하는 데 유용합니다. 또한 Black-Scholes 모델과 같은 다른 가격 책정 모델보다 훨씬 간단합니다.

전산 금융.

2015 년 3 월 13 일 금요일.

C ++ 코딩 - Black Scholes 옵션 가격 - 이항 나무.

이 솔루션에 대한 예제 질문은 내 웹 사이트 (여기를 클릭하십시오)에서 찾을 수 있습니다.

5.1 옵션 가격 결정을위한 이항 트리.

가격 선택에 이항 나무를 사용하는 두 가지 가장 보편적 인 모델은 Cox et al. & # x00A0; # x00A0; (1979)이다 (짧은 CRR).

우리는 주가 트리를 생성하기를 원한다. 그래서 timestep i와 upstate j 이후의 자산의 가치를 S ij로 표시하면 다음과 같다.

먼저이 템플릿 코드를 다운로드하여 시작하십시오.

먼저 선택한 문제에 대한 Black Scholes 매개 변수를 선언하고 초기화하십시오. 여기에 S0 = 100, X = 100, T = 1, r = 0으로 블랙 스콜스 바닐라 유럽 통화 옵션을 평가할 것입니다. 06 및 σ; = 0이다. 2, 그래서 이들 각각에 대한 변수를 선언하십시오. 다음으로 정수를 더하여 트리의 단계 수를 저장하고이를 n이라고 부릅니다. 마지막으로 트리를 설명하기 위해 지역 변수를 추가하십시오. 그래서 우리는 타임 스텝 길이 dt, u, d 및 q를가집니다. 코드는 다음과 같이 보입니다.

그런 다음 적절한 공식을 사용하여 dt, u, d 및 q에 대한 값을 계산하십시오. 강의 노트에있는 값과 비교하여 값을 확인해야합니다 (여기, 슬라이드 19).

다음에는 트리의 각 노드에있는 주식 값에 대한 스토리지를 생성해야합니다. 우리는 주가 노드를 배치 할 벡터 stockTree의 벡터를 선언하십시오.

이것이 n + 1 & # x00D7로 초기화 된 곳; n + 1 2D 배열이고, n은 트리의 노드 수입니다.

이제 for 루프와 함수 pow를 사용하여 트리의 각 노드에있는 주식 값을 입력하십시오. 여기서 S i, j & rarr; stockTree [i] [j].

이제 벡터 stockTree [i] [j]를 화면에 출력하십시오. 귀하의 코드는 다음과 같이 보일 수 있습니다.

이 값들을 강의의 예에서 나온 값과 비교하십시오.

5.2 옵션 값 트리.

우리가 모든 단계에서 결과를 종이에서 해결할 수있는 것과 비교할 수 있도록 간단한 예제를 만들어 보겠습니다. 이는 문제를 풀기 전에 디버깅, 문제 해결 및 모든 버그 검사를 소규모로 수행하는 중요한 아이디어입니다.

먼저 옵션 값을 보유 할 벡터 벡터를 선언하십시오.

stockTree와 동일한 크기로 설정하십시오. 여기서 우리는 같은 관계를 사용합니다.

이제 우리가 주식 트리를 이미 생성했다는 가정하에 트리의 최종 값을 채우십시오. 여기에서 보수는 우리가 해결할 옵션의 유형에 적합한 함수입니다. 유럽 ​​통화 옵션을 얻으려면 다음과 같이하십시오.

이제 방정식을 사용하여 각 노드에서 값을 생성하기 위해 트리를 거꾸로 반복해야합니다. 다음을 수행해야합니다. 각 노드에서 옵션 값을 caculating 벡터 배열을 통해 뒤로 이동하는 루프를 작성하십시오. 트리를 화면에 출력하고 (n = 3) 간단한 예제 (여기를 클릭하십시오, 19 번 슬라이드)와 비교하여 코드가 작동하는지 확인하십시오. 당신의 가치관이 일치하지 않는다면 - 왜 그런지 시험해보십시오 !! 이제 (0, 0)의 값을 인쇄하여 트리의 단계 수를 늘리십시오. 결과는 실현 가능합니까? 수식의 정확한 값과 비교하십시오.

마지막으로 코드는 다음과 같아야합니다.

마지막으로, 다음과 같이 코드를 개선하려고 할 수 있습니다. 주어진 매개 변수 세트에 대한 2 항 트리의 값을 리턴하는 함수 작성. 두 개의 시간 수준을 저장하는 코드를 작성하고 (필요한 경우 모든 단계에서) 이전 코드와 비교하십시오. 단 하나의 시간 수준을 저장할 수 있습니까? 이를위한 코드를 작성하십시오. 스토리지 요구 사항이 다른 코드간에 차이 (계산에 소요되는 시간)가 있습니까?

5.3 수렴 속성 평가.

지난 번부터 코드를 가져 와서 주 알고리즘을 함수로 가져와 보수 함수를 독립적으로 설정할 수 있으므로이 작업을 마무리 할 수 ​​있습니다. 대표 코드는 다음과 같습니다.

이제 우리는 N이 증가 할 때 어떤 일이 일어나는지 조사하려고합니다. 코드에 다음 결과를 파일에 출력하려면 다음 루프를 작성하십시오. 파일 저장 위치에 대한 선호도에 따라 출력 파일 이름을 조정해야합니다.

S 0 = 100 및 X = 100에 대한 코드를 실행 한 다음 데이터를 플롯 패키지로 가져 와서 결과를 시각화하십시오. 다음 패턴을보아야합니다.

이 패턴은 터미널 시간의 노드가 단계 수가 홀수인지 또는 짝수인지에 따라 파격 가격 또는 위 / 아래에 정확하게 배치된다는 것을 알면 설명 할 수 있습니다. S 0 & ne을 선택하면 꽤 다른 패턴을 볼 수 있습니다. X, 예를 들어 S 0 = 97로 설정하십시오. 3467 코드에서 실행하고 결과를 다시 실행하십시오. 이것을 플로팅 패키지에 넣으면 이와 비슷한 것을 볼 수 있습니다.

이 그래프를 생성하기 위해 패턴을 더 잘 나타 내기 위해 n = 25를 최소 눈금 크기로 설정했습니다. 이번에는 홀수와 홀수 효과를 볼 수 있습니다. 충돌은 충돌 가격에 대한 그리드 노드의 위치에 의해 다시 발생합니다. 나무의 수렴은 O (1 & # x221; n)이지만, 고비는 높은 정확도를 달성하는 것을 매우 어렵게 만듭니다. Joshi & # x00A0; (2007)은 미국의 옵션이 서로 다른 방법을 비교할 때 Leisen과 Reimer & # x00A0; (1996), Heston and Zhou & # x00A0; (2000)을 포함하여 여러 문제를 다루고 있습니다. 가격이 책정됩니다.

참조.

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& # x00A0; & # x00A0; & # x00A0; Heston, Steve 및 Guofu Zhou. 이산 시간 조건부 청구의 수렴 속도. Mathematical Finance, 10 (1) : 53 & # 82; 75, 2000.

& # x00A0; & # x00A0; & # x00A0; Leisen, Dietmar & # x00A0; PJ와 Matthias Reimer. 옵션 평가 평가 및 컨버전스 개선을위한 이항 모델. Applied Mathematical Finance, 3 (4) : 319 & # 3411; 346, 1996.

& # x00A0; & # x00A0; & # x00A0; Rendleman, Richard & # x00A0; J and Brit & # x00A0; J Bartter. 2 단계 옵션 가격. 저널 오브 파이낸셜, 34 (5) : 1093 & 1111, 1979.

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